\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) với a > 0, b> 0
chứng minh biểu thức trên.
Cho a>b>0 . Chứng minh :
a, \(a+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}\ge4\)
b, \(a+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
\(a+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}=a-b+b+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}\ge a-b+2\sqrt{\frac{4b}{b\left(a-b\right)^2}}=a-b+\frac{4}{a-b}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)
b/ \(a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+b\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}+b=\frac{4}{b+1}+b+1-1\ge4-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
chứng minh các bất phương trình
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(B=\left(\frac{a+b}{c}\right)+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\left(a,b,c>0\right)\)
\(B=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(B=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Ta cần CM \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Áp dụng BĐT Cô-si:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Tương tự,ta cũng có:\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow B\ge2+2+2=6\left(đpcm\right)\)
(*) t chỉ ms lớp 7 thôi nên cũng ko chắc đúng ko nhé!
\(A=\left(a+b\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\left(a+b\right).\left(\frac{a+b}{ab}\right)=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\)
\(A\ge4\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\)
Ta có: (1) đúng => BĐT đúng => BPT đúng (đpcm)
chứng minh bất đẳng thức:
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Ta có: \(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}\)
=> \(A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Ta lại có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
=> \(A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+2=4\)
=> \(A\ge4\) => đpcm
Xét A , ta thấy
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân , ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\Rightarrow A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+2=4\)
1) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
2) Cho \(a,b,c\in R\).
a) Chứng minh: \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
b) Chứng minh: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\)
3) Cho \(a,b,c\in R\)Chứng minh: \(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Cách nữa cho bài 2:
2a) Ta có: \(4\left(a^2+1+2\right)\left(1+1+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
Hay \(4\left(a^2+3\right)\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2=VP\)
Như vậy ta quy bài toán về chứng minh: \(\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(2+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow b^2c^2+b^2+c^2+1\ge4bc\Leftrightarrow\left(bc-1\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:\(\left(a^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+b^2+c^2+\frac{1}{2}\right)\ge\frac{1}{4}\left(a+b+c+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{5}{4}\left(a^2+1\right)\left(b^2+c^2+\frac{3}{4}\right)\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\)
Từ đó ta có thể quy bài toán về chứng minh: \(\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(b^2+c^2+\frac{3}{4}\right)\)
...
Bài 3:Sửa đề a, b, c >0
Có: \(\frac{a^3}{b^2}+\frac{a^3}{b^2}+b\ge3\sqrt[3]{\frac{a^6}{b^3}}=\frac{3a^2}{b}\)
Tương tự: \(\frac{2b^3}{c^2}+c\ge\frac{3b^2}{c};\frac{2c^3}{a^2}+a\ge\frac{3c^2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên: \(2\left(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\right)+a+b+c\ge3\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\)
\(=2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\)
\(\ge2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+a+b+c\)
Từ đó ta có đpcm.
cho biểu thức B=\(\left(\frac{1}{\sqrt{a}-3}-\frac{1}{\sqrt{a}+3}\right).\left(1-\frac{3}{\sqrt{a}}\right)\) (với a>0 ;a khác 0)
a) rút gọn b
b) chứng minh B>0 với a>0 ; a khác 9
cho a+b=1 , a>0 , b<0 và biểu thức T với :
T = \(\frac{b-a}{ab}\): \(\left(\begin{matrix}\frac{b^2}{\left(a-b\right)^2}&-&\frac{2a^2b}{\left(a^2-b^2\right)^2}+\end{matrix}\frac{a^2}{b^2-a^2}\right)\)chứng minh rằng T + 4 <0
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(đpcm)
1.xho x+y=1 và xy khác 0.chung minh \(\frac{x}{y^3-1}+\frac{y}{x^3-1}+\frac{2\left(x-y\right)}{x^2y^2+3}=0\)
2.cho a,b,c là các số thực dương.chứng minh \(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{14abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge4\)
Cho a, b, c \(\ge\)0, a, b, c đôi một khác nhau và (a + c) (b + c) = 1. Chứng minh \(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+c\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}\ge4\)
Với a,b là các số dương. Chứng minh rằng: \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)